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為什麼“假蘊含真”為真
Nov. 22, 2015
大家讀到“P—>Q為假，僅當P為真但Q為假”會覺得疑惑。(以下—>為蘊含，&為且，|為或，~為否定)。像是“如果狗都是無脊椎動物，則雪是白色。”為真，但為什麼? “狗是無脊椎動物”和“雪是白色”沒有任何關聯性，而且前者是錯的，為何會有因果關係? 此外，“如果狗都是無脊椎動物，則雪是黑色。”也為真。為什麼? 雪不是黑色，那討論“狗是無脊椎動物”和“雪是黑色”的因果關係，難道不是荒謬的事嗎?
我沒修過邏輯，但很多人有修過。我不清楚你們老師怎麼教的。一般的書上會說，“蘊含不是因果關係的意思。他的意思只是說，並非P真卻Q假，這樣而已。”後來我想也許這只是為了用重言式((~P) | Q) <—> (P—>Q)來規定罷了，只要P為真的時候正確推得Q就可以了。
然後我看到最可以接受的講法是這樣。我們先看“或”的例子，反省一下真值表的意義。現在討論範圍內的不同x，都給出許多可能的P(x)和Q(x)值。我們說P&Q為真，意思是P(x)和Q(x)總是滿足某種關係，也就是至少一個為真。在動物的範圍內，x或者是脊椎動物，或是無脊椎動物。在實數的範圍內，x或者是有理數，或是無理數。P(x)和Q(x)的組合有了限制，而我們可據此作出推理，發現另外一者。
然而，P—>Q比較特別。我們希望形式系統內，可以從公理透過正前律(modus ponens)得出的都是真命題。所以P是定理時，若P—>Q也是定理，那Q也是定理，這樣就可以滿足一切的夢想。然而，未必每個x都使得P(x)為真，而Q(x)當然就沒關係了。現在，“2是偶數，則2是自然數”為真。但5是奇數也是自然數，而3i不是奇數又不是自然數。如果要求P一定要為真，顯然太過嚴格。
大家會擔心說，如果“如果狗都是無脊椎動物，則雪是黑色。”為真，這樣的蘊含關係擁有推出假命題“雪是黑色”的能力，這有違常理。沒有錯，但狗不是無脊椎動物。假如因為“狗都是脊椎動物”是定理的關係，讓我們有了“如果有的狗是無脊椎動物，則雪是黑色。”的定理，結果推一推又發現“有一隻狗是無脊椎動物”是定理，那我們可以洗洗睡了，因為不但“雪是黑色”是定理，所有命題也都是定理。
實際上，這相當於兩難律(dilemma): (P | Q) 和 ~P皆為定理，可得Q為定理。蘊含的意思只不過是這樣而已。得到一個假命題，推理就失去得到更多真命題的保證了。但這不代表蘊含的定義是有問題的。
本來看似很深奧的東西被我講的很好懂，哼哼。
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