定理至此證畢。

定理至此證畢
June 4, 2015

“定理至此證畢”——第一次見到這個詞，是我國一把《幾何原本》(Elements)買回家的時候。“Quod erat demonstrandum”，或是“定理至此證畢”，歐幾里得寫道，在每個命題結尾。說我立即被數學的美吸引，未免言過其實，何況那時怎麼想的我現在也忘了。然而讀到下一題“QED”對我來說好像有種奇妙的成就感: 越複雜的命題，就鞭策我越非要看懂不可。尤其是第十章在講帶根號的代數數的分類，那時我小小的腦袋還不大能理解，於是我花了很久整理一個表格，才弄清楚。

也許我該用倒敘法。小學二年級時，爸爸買給我一本書，“數學是啥玩意”(Mathematics: the Man-Made Universe)。我強迫自己看懂同餘方程，算術基本定理(the fundamental theorem of arithmetic)，著色(coloring)問題，尺規不可作之圖，無窮集合的基數(cardinality)。我不時重讀卡住的章節，而一有所領悟就竊喜。大部份時候我都似懂非懂。然而我想知道接下來要講什麼，也想知道我終究能不能看懂。見到我有在看，爸爸，一位傑出的土木工程師，教我書中我尚不明白的解聯立方程，一元二次方程，三角形的角邊關係——這時我頂多小學五年級吧。

然後國一我找了微積分來看，國二開始寫複變函數習題，高一讀了線性代數。我還很認真試著了解一些歷代名題，像是“費馬猜想”(姚玉強著)，“哥德爾不完全性定理”(朱水林著)，雖然最後我連一階和二階邏輯哪裡不一樣都搞不大清楚。如果說我到現在都還不明白什麼衝動使我讀這些，讀者會笑我嗎? 

四年前我有幸考上台大電機，成為社會眼中的人生勝利組。每個小朋友都有過當個物理或數學教授的遐想。但我念越多，不免開始懷疑理論學家的價值。理論的計算大多沒有分析解，除非我們假設光滑斜面忽略一切阻力，或頻譜均勻的相加的常態雜訊(AWGN)。理論計算因為有智慧產權，產業界也未必會拿來用，更不用說工程的論文也不乏亂寫的。而這其中，我又好奇，數值模擬的苦功占了多少成: 那些研究十幾次方程的控制工程師，比起一台機器手臂，哪個無聊? 當我聽到物理營的弟弟妹妹說“物理很美”或“我要念數學”，我開始打量這其中有多少虛榮，多少幻影。

而彩券廣告是勝利者拍的。懷爾斯(Andrew Wiles)年輕就發誓要證明費馬猜想，念了數學系，專攻橢圓曲線(elliptic curve)，最後排開一切，專注地躲在閣樓上思考。但有多少懷爾斯，像抽屜裡乾枯的死蜘蛛，終老在他自家的閣樓。最近意外身亡的納許(J.F. Nash Jr.)，年輕時證明橢圓PDE問題，沒有得到菲爾茲獎，最後失望之下也精神崩潰了。

誰受得了這種苦? 凝態學家補足書上的兩行式子之間的空白，可能要花二十張紙。高能學家花半年計算一種粒子軌跡的路徑，也許皆屬枉然。年齡增長的過程，想像和真相必然有些不同(否則刻卜勒不用做斜面實驗就可以發現落體定律了!)。為什麼他們還要堅持下去?

《費曼的彩虹》(Feynman's Rainbow)的作者，Leonard Mlodinow，當時是加州理工學院的傑出年輕學者，他被聘用後卻整天擔心過了觀察期他還毫無進展，會被開除。那時他敲費曼的房門，接著該位諾貝爾獎得主是這樣說的，“當年我解氦的超流體(superfluid)，我也好怕，只好每天催眠自己，我作得到，我作得到。可是你必須相信，你作得到。”

相較之下我想到《證明我愛你》(Proof)裡的教授，他年輕時有傑出貢獻，後來卻患有精神分裂；他在積雪的院子裡喊道，“我又回來了，我還能做數學，我知道大方向了....”而他的女兒拿過筆記本來看，失望地發現都是胡言亂語，一滴淚滑落臉頰。

其實，我提醒自己回想，之所以我們拾起一本數學書，看見被漂漂亮亮打好字的定理，都會有種衝動試著讀下去，那其中沒有複雜的原因。像“美麗境界”(A Beautiful Mind)描繪的納許，像“愛的萬物論”(The Theory of Everything)中，早已無法寫字與說話卻仍堅持研究的霍金(Stephen Hawking)，他們手拿著粉筆，眼睛泛著光。或許是好奇心，或是要挑戰自己，或是想欣賞更深的知識，但總之就是追求美好的事物的天賦，在驅策他們吧。每個男孩子看完歐幾里得滑溜溜的證明，他心中又好像吵著要買變形金剛的小孩，像還能戀愛的年輕人，像戒不掉巧克力的減肥常客，也非得親自寫下另一個“定理至此證畢”。

[子宇注: 這是分析導論的一次送分作業。

[“請以自己聽到的故事，讀到的書，看過的電影，參加的比賽，經歷的人事，且其中是與數學有關，並帶給你正面的改變，啟發，反省，或正面的情緒反應——感動，新奇，振奮，舒懷等等為題材，寫下這個經驗的當時過程，與(如果有)後來對你的影響，或你對這個經歷的檢討。學期最後(六月十八日週四)將請一些同學上台將經驗與大家分享。”

[另外，“QED”的字面是“這些是剛剛我希望可以證明本題的”。他有時候會寫“這就是剛剛打算作圖的”，拉丁文則是“QEF”。]