大一線性代數回憶錄
July 2 to 6, 2012.
鄭振牟 / 線性代數 (下學期 Wed 3, 4; Thu 5. 老師加課: Mon 5)
我慶幸選了鄭老師的這門課。他不但使我知其所以然，更完全激起我對代數的胃口。也許我早應該跟柯劭珩和廖胤廷一起去修數學系兩學期的線代?!
老師看起來健壯開朗，臉方方的，十分年輕，可以天衣無縫地融入助教群中。大家叫他“真正猛”或“證證猛”。他能把版書寫的快又整齊，字體亦別具一格；“g”和“a”看起來跟書本上的襯線體(serif)如出一轍；q下面有一橫，大概是為了區分9。他專長密碼學，個人網頁上的研究領域聽起來頗深奧，像是什麼“橢圓曲線離散對數(elliptic-curve discrete logarithm)，格基約減(lattice reduction)....”
老師幾乎不管共同考試與共同教學課本，跳著教Axler的書“Linear Algebra Done Right”。如果要以一句話概括Axler——也就是鄭老師授課——與課本的差異，大概會是: “Axler教的是線性代數，課本教的是矩陣算數。”
電機系用的課本，計算題非常多，但證明題的量與難度都不夠。讀完它，大概僅僅能成為一個知道如何進行食譜式操作的工程師。稟著先具體再抽象的教學，向量空間的定義定理等等也全被放到最後章節了。例如課本講到矩陣的rank與nullity，先用線性方程組有幾個變數是自由的觀察來介紹，卻不如開宗明義說，它們分別是線性變換的range和kernel的維度。在講到光譜定理(spectrum theorem)時，課本沒有清楚點出transpose的意義就是(實數情況的)adjoint。更有甚者，課本所有敘述都以矩陣為本，不若Axler完全以線性變換來講，就造成一個麻煩，即矩陣的基底可以任選，因此必須一次次證明各個性質不隨基底影響。此外，課本所有敘述都只討論實數，以至於講到可對角化時，他必須區分n次特徵多項式有沒有n個解(重根重複算的話)。若把複數納入討論，會省掉麻煩，歸咎於代數基本定理。
但是Axler以高層次的觀點看事情，往往簡單許多，能一次解釋不同現象，且更能洞察全局。本書僅兩百多頁，完全沒有廢話，文字雅潔清晰，以定義，定理，證明層層推進，是標準的數學家筆法。他為了能更好地介紹概念，例如把轉置和行列式延遲到很後面再講。隨著課程進展，我越來越能欣賞這種不尋常的安排。
定期考也是四班統一的，以證明與觀念為主，沒有繁雜的計算。我第一次小考98，第二次考100，期中90(全系最高)，造成同學有種我線代很強的印象。老實說我自己都覺得有點驚訝，因為我有些證明自認為沒寫清楚，助教卻相當給面子的打勾了。我只是每次都充滿興致地在課後自發地閱讀Axler相關部分，並且堅持自己想每一題證明。
有一件事情可以顯示老師對學生的關心。作業9有個加分題，大意是“實數或複數的有範空間(normed space)，又滿足若干條件，試證必能定義內積。”我努力了好一陣子，覺得我有證出來，十分得意；交作業前一晚，經同學提醒才發現我只有證出實數的情況，雖然懊惱，也來不及再研究了。
學期末，老師寄了封信，寫道，“我一直鼓勵同學互相討論，問助教，或用任何方法得到答案，卻堅持同學必須用自己的話把證明過程寫下。但許多人加分題的答案與解答手冊明顯地相似。請跟我約時間見面，跟我口頭解釋你當初怎麼證明的，否則視為抄襲。”
期末考週不久前的一天，我到寬敞氣派的明達館615敲門。原來老師已經回國了，且特別影印了大家的那次作業。老師耐心地等我回想當初怎麼作的: 我定<u,v> = (1/4) (|u+v|^2 - |u-v|^2)，再想辦法證內積那五條公理。搞了半天，其實我連實數的情形也沒證出來，而且此式不能推廣到複數。不過老師已經相信我的清白了，還有點半信半疑地問，是我自己想出<u, v>的定義嗎。他又建議我繼續想想這題，是個很好的練習，至少集中精神在實數的情況也夠了。另外，我用到實數的完備性來用有理數逼近無理數，是可以，但他認為“但應該有不帶分析味的，更優雅的證明。” 離開時，我心想，看來老師對我印象不錯。希望以後有數學問題可以再問他!
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