我好像懂你意思了
Oct. 21, 2013; May 5, 2016
[科普的淺薄和原因] 每次經過書店，我常會翻翻科普區。當然不是要買——我想我應該過了那個還在看《漫畫廣義相對論》或是《一本讀懂! 生活中的幾何學》的年紀——而是想體會一下還不懂矩陣或傅立葉轉換的人這些玩意有多玄奧。
然而，市面上科普似乎還是太簡單了。我不是高傲地要求每個人擁有解邊界條件或親自積分的耐心。但是一本科普有五成時間在介紹數學家八卦，三成在搞笑，兩成是書本作者的臉書廢文，等到快進入正題，書本的邊緣他們已經寫不下了。哈哈。
這是因為民眾想要一次懂所有事情，才視數學式為洪水猛獸。人們想要一邊吃點心配紅茶一邊讀量子力學，還希望它和小說一樣有趣。這也想得太美了吧? 看不懂就先自己猜測補充他的意思，然後先繼續看。就算是教授，看到期刊也有很多不懂的啊! 大家一看到公式，就覺得好難喔! 我不懂! 這樣你就準備繼續不懂下去吧，何必花錢來買科普?
[複雜性能簡化嗎] 然而複雜的事物，有人說，總是可以被深入淺出的改寫，或至少重要的部分，所以科普還是有價值的吧?
我不認為。他們說的深入淺出其實是許多毫不相關的情況: 簡單者是複雜者的一部份(好像波動力學是量子力學的一部份)，或只是提供再現的指示(好像音樂電台主持人分享這段音樂給他的感覺)，或指出其大綱(如工程師說他已經算過這個房子不會塌)，或以確實相似之物來比喻(如鈉和鉀的性質類似)，或以不相似之物比喻(就像若老師跟小朋友說原子結合就像被膠水糊起來)，或只是僅僅描述經驗資料(像醫生跟你說高油高鹽會造成高血壓)。
但複雜性始終保持同樣複雜。試想一個人若不知道機率密度(pdf)的意思，要怎麼告訴他波函數 ψ 的意義? 如果只是說，“粒子又在這，又在那” 這絕對是錯的；而“粒子是模糊的，被暈開了，他不是一個點”這更糟——承認吧，你八成和小學生講過類似的話。相反的，假如他明白了 ψ 的大小平方正比於小體積裡的可能出現的程度，他不就是懂了嗎? 他完全懂了，而不是懂了簡化的版本，或懂了一個大要。
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[了解只是知道嗎] 不過如果一定要算過特徵值才算懂量子力學，專家和書本又有什麼不同呢? 書店裡的書架裝了一整櫃量子力學，那麼那些木頭應該比我懂。了解只是知道嗎? 這有點奇怪。
如果讀者說，“我終於懂了! 波耳(Bohr)用一個離散模型可以解釋氫原子譜線——這是何等的奧秘。根據古典力學，電子在哪都可以，所以位能當然是連續的。可是根據量子力學，矩陣的特徵值被發現擔任類似能量的角色——那他們是自然是離散的。” 我覺得你好像想告訴我，你了解了什麼，明白了什麼，而不只是會算特徵值。
[期望值的例子] 也許我們應該回顧一下小孩子是在絞盡腦汁個什麼勁。之前葉老師要寫《機率驚豔》的附錄，我回去翻機率課本的時候，我發現期望值其實是一個很難懂的公式——我是說對高中生，更不要說國小或國中。
所以老師大概會說，期望值是個加權平均的概念。加權的是機率，而被加權的就是我期望的東西啊。高中生沒有隨機變數的概念嘛。但這樣一講，好像把隨機變數講成一個確定的東西了。
也許我們得說，期望值是進行多次隨機程序之後的平均值。但這又像結果論，好像期望值是由實驗得到的值。而且，是什麼東西的平均值? 我看高中老師會說，這就是公式，給我背起來!
我在這邊不再詳述這件事了。應該不多人知道，一個隨機變數是建構在機率空間，測度(measure)，以及對空間的分割上，而隨機變數是從機率空間至樣本空間的函數。這裏的重點是，顯然高中生已經有離散隨機變數的概念了，只是他們沒有用嚴格的定義。而大學課本雖然是先引入期望值的概念，再說明隨機變數，學生其實是認出他們以往的了解，才有懂了的感覺。
[其他直觀想像的例子] 所以本來數學就是先有直觀的概念嘛。像是一個人說到sin的時候他心裡想的是一個圓上的弦，而不是exp的線性組合；說到群(group)的時候，心裡想的是{0,1,2,3,4}；說到緊緻(compact)集合，心裡想的是一個有限而單純的形體，沒有什麼尖尖刺刺的。每次看到均勻連續(uniform continuous)，我是想到一個大平面上有一排函數，漸漸在遠處消融成一個相同的輪廓，而我知道我的筆尖如果往遠方前進，起伏也不至於太大。
不會算通常都是沒有圖像思考。當我計算一個含有編號 i 和 j 的無窮和，我常常一頭霧水，直到我可以翻譯成平面上代表 i 與 j 座標的格子點的移動與消滅；一這樣作，我就可以重述整個過程，還可以檢查有沒有錯。而移項時我搞錯的又往往是使用了錯誤的圖像——我腦袋裡的算盤變形了，而不是我的虛擬的手撥錯。
當我在看一個電晶體時，我常常把他的閘極(gate)想成一個上下移動的開關，至少要有某個高度；汲極(drain)與源極(source)的大小是一個微調的桿子，但汲極不可低於閘極之下某個門檻(threshold)。這個軸和圖片的上下是一致的，也許這就是為何電流通常都由上往下畫。又如有一次看到 Antonio 假電感，我突然可以明白了——我的心裡把操作放大器(op-amp)的腳捏起來，因為他們等位；我想像電路被扭成一個上下位置依照電位高低的樣子，然後我能依照我幻想的導線的長短比例直接讀出輸出阻抗。我相信電機系的同學也想過類似的事。
[什麼是物理意義] 物理意義應該是最好的例子。力學能守恆是理論上推導出的一個不變量，可是藉由它我們可以更快得到一些結論，而就像費曼說過，我們不知道什麼是能量，只知道它的總和永遠相同。像是波導管的 Smith chart 只是把保角映射 (1-z)/(1+z) 畫到圖上，有比式子含有更多資訊嗎? 他們哪裡有解釋出更多東西嗎? 難道不只是方便我們想像，於是滿足我們感同身受的天性?
反之大家在讀量子力學時，似乎不能滿足於此。在這裡很多假設是自己定案的，概念是自己成形的。所以那些“物理意義”不再使我們安心；它們並不在我們熟悉的巨觀世界。
[了解作為一種統合] 我沒有要詳述這些。我的重點是，人們說懂了一件事，是因為他們連結了不同事物的相似部分，一直連到生活中足夠熟悉的經驗，才能當作終點。我們念茲在茲的不是怎麼發生，而是發生的根源(倒未必是原因(cause)，那是另個故事了)。可是這個“目的”是撲朔迷離的。這些具象化(visualizing)本來只不過是我們讓自己舒服的方式。什麼是確實相似的部分? 什麼是表面上相似? 這並不重要。人從來不了解任何事情。
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[對人的了解] 那我想我明白“懂”的另外一個，卻不無相關，的意義了。每個人都說自己不被瞭解，卻又常常宣稱了解別人。讀者會說，“他這個人啊，心裡想什麼很好猜。” 你怎麼知道的? 推測既然是不確定的，那麼對推測的確定為何不也只是另一個推測——而為了確定後設的推測，我們需要更多推測?
那是因為我運用我的五官五感，追蹤出與他一樣的行為。我們起初對他人的所思所為感到奇異，卻想起自己早已有過一樣的點子，才感到些許慰藉。為什麼這個他這麼需要陪伴，這麼坐立不安? 為什麼那個他寧願去睡覺也不想交女友? 為什麼這個人聽到某些玩笑為何會生氣；為什麼那個人留下晦澀的遺稿。原來我在某條步道上，某個夕陽光芒下一樣有過的念頭。於是當他發笑或發怒，我也發現我跟著開心或生氣；所以我說我懂他。
我們張牙舞爪地探索這個世界，然而我們運用自如的工具卻僅限於身邊。我把自己當作他，而當沒出什麼差錯，我就說我跨越了他圍起的城牆，進入了他的心靈——好像我看不懂課本證明，然後把書本遮住，自己塗塗寫寫一次，這時當結果對了，一切都好，儘管我也許沒有考慮到某種摩擦力，或沒有照顧到函數的不連續點。可是當你說，“我好像懂你意思了? ” 也許別人會說，“你還沒聽完，你懂什麼，你根本不懂! ” 搞不好他想的根本就不是那樣。
[盒中甲蟲的例子] 這讓我想到維根斯坦提出的盒中甲蟲。每個人手裡都有一個盒子，裡面(我假設)有一隻甲蟲。如果每個人只能看自己盒子中的甲蟲，那麼別人講得再多，他們又如何得知那些人見到的“甲蟲”是什麼? 我們都只看見自己的甲蟲，而自以為見過別人的甲蟲。
也許他的意思是，我們永遠不能知道我有沒有懂，只知道我，從善如流，正在跟著這個世界操作這部器械。機器動了，輸出對了，就把剩下的交給原廠維修吧——然而現在沒有一座工廠擁有每個人的腦袋設計圖。所以照這樣講，我們只有以為我們懂得，卻不可能懂得我們所以為的。
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