格蘭傑的遺囑
ca. May, 2013
[編注: 這是當初BJT機率題目]
倫敦，濕冷的深夜。一個高瘦的中年男人，身著筆挺的西裝，隻身走入斜角巷(Diagon Alley)。除了(當然)幾許不可避免的眼角紋，他的五官輪廓分明，一頭淡金色頭髮，年輕時想必是個帥哥。
“路摸思(Lumos)。”他點亮魔杖，以摸索破釜酒吧(The Leaky Cauldron)的門把。店門口掛了布條，寫著，“迎接2025年! 向老闆許下新年新希望，奶油啤酒(butterbeer)即可買一送一喔。”
儘管有促銷方案，裡頭仍十分冷清。吧台旁邊坐了個中年男人，身材微胖，穿破舊T恤與牛仔褲，戴著厚厚眼鏡，專注地看著筆記型電腦。他的兩眼分開，額頭寬大，看似不怎麼聰明。另一個獨坐女子，金色長髮被燙成爆炸頭，戴了大金屬耳環，身著鮮艷的流蘇袍子。她忙著比對桌上散亂的大疊資料，眼神飄忽不定望向窗外，透著古怪。還有一個削瘦的老頭，頭髮已經花白，卻精神奕奕。他大概是街頭藝人，穿蘇格蘭裙，背著風笛(也不知為何一直不肯放下)，始終頭低低的。這就是此刻店裡所有的客人。
高瘦的男人靠近吧台邊的胖子，在他肩上重重拍了一下。“嘿! ”他喊道。
“他媽的...咄咄失(Stupefy)! ”胖子畏縮起來，好像很痛，邊說道，並轉身舉起魔杖。
“去去武器走(Expelliarmus)! ”高瘦的男人驚訝之餘也掏出魔杖，卻沒擊中，將吧台上的iPhone 9燒成灰燼。“葛果里! 葛果里·高爾(Gregory Goyle)! 是我啦! ”
“跩哥·馬份(Draco Malfoy)? ”
“對不起...我賠你一個。”
“不用了啦。是我自己忘了跟你有約。剛好參加研討會才回英國，剛好你也在倫敦，就想到好久沒碰面了。前陣子我受託研究如何檢測搏格(bludger)的瑕疵品；中國製造的搏格品質實在太差了，已經釀出三條人命，又因價格低廉，在黑市銷售一空，魔法部不得不組成調查小組。結果反而被一個快浮(quaffle)打斷了肩胛骨。早就癒合了，不過仍隱隱作痛。”他揉了一揉肩膀。“他們還送我一本書。”他拿起筆電，滑到電子書的燙金封面，寫著：
Quidditch’s Enchanted Dynamics (Intenational Edition)
《魁地奇魔法動力學》(國際版)
下面還有一行小字：不可在美加地區販售。
“看來你去讀了牛津大學物理博士以後，事業做很大喔! ”跩哥笑說。
“也沒有啦! ”葛果里說，帶著一絲得意，“最近魔法部(Ministry of Magic)開始與麻瓜(muggle)物理學家秘密合作，希望結合魔法與凡人的科技。你知道，魔法不外乎是一些少數人的特殊天賦，能以某些捷徑操縱物理世界。可是因為我們高傲地對凡人保密，卻使幾百年來技術停滯不前，甚至落後他們。像這個智慧型手機，不知道比貓頭鷹傳信快幾倍呦。更不用說這個平板，這個電腦...”他邊指著說。
“有人說魔法世界已經沒落了：”跩哥說，“越來越多巫師去念麻瓜的大學，享受麻瓜的生活。拿我來說吧：一開始，曾經身為食死人的兒子讓我到哪都找不到事。當年差點加入他們黨羽，也是一時糊塗。”他望著被燻黑的磚牆，好似往很遠的地方看。
“想想喬治。”葛果里低聲道。
“喬治·克拉(George Crabbe)已經死了，講這些做什麼。”跩哥生硬地說。“可是我現在賺的都是乾淨錢啦! 哈哈哈! ”他又突然大笑。
“怎麼說? ”葛果里問。他露出一絲厭惡，又立刻隱藏。
“我去麻瓜大學旁聽了投資學以後，就開始和朋友搞股票。只要你搞懂那些槓桿呀，套利呀，銀子根本輕鬆入袋。你知道前幾天華爾街的崩盤嗎? 那是我弄的! 我弄的欸! ”跩哥用雞尾酒杯一直敲桌子，好像醉了。
“欸! 回來! ”店老闆的聲音打斷了他們。“這次不准你賒帳! ”他向穿蘇格蘭裙的老人說；那人正要走出店門。
“這幾個銀子打賞你! ”跩哥輕蔑地說，把幾個加隆(galleon)丟到老人面前。後者面無表情的撿起來。
鄰座的女子盯著他們好一會了，這時走近吧台。“馬份先生? 我是露娜。”她微笑說，“露娜·羅古德(Luna Lovegood)。還記得我嗎? ”
跩哥愣了一會，隨即迸出大笑。“當然! 當然! 上次看到你是九年前，在九又四分之三月台吧! 你剛好也要送小孩上特快車。現在你可是媒體大亨呢! ”
“其實謬論家(Quibbler)會買下預言家日報(Daily Prophet)是運氣好啦。”露娜說，一邊坐下。“他們的新聞都太嚴肅了，難怪銷量不佳。別說這些了，跩哥，給你看看我最近在忙什麼...”她低頭摸索公事包。
“真的假的? ”葛果里向跩哥耳語，“還好我兩年前就不訂預言家了。”
“你不知道? ”跩哥也小聲答道，“腥膻色的小報總賣得比較好。”
露娜繼續說，“明天格蘭傑的遺囑指明的實驗要在魁地奇世界盃球場進行，還要賣票，既可增加魔法部營收，又讓本報多一個話題，豈不一舉兩得呀。這裡有格蘭傑生前的愛恨情仇的特別報導喔! ”
葛果里接過預言家日報。一個清秀的棕髮女子露出狡黠的微笑，來回擠眉弄眼。“這是十幾年前的資料照片了，”露娜說，“那時她真美。”
“你是說妙麗·格蘭傑(Hermione Granger)? 她死了? ”葛果里問。
“這是前兩天頭條耶! ”跩哥諷刺地微笑。“要不是那小騷貨和那黃鼠狼(weasel)在一起，我搞不好會喜歡上她的。”他又顯出一絲困窘，隨即低頭喝了口啤酒。
“我會知道這些，”露娜指著報紙說，“也是一次巧遇榮恩(Ron)才聽他說。”
“怎麼說? ”跩哥豎起耳朵。
“你知道，當上總編輯以後我早就不缺錢，但占卜還是我的興趣。因此每週六我會在報社後門擺一個帳篷，喬裝起來，替人占卜水晶球。從來沒有人認出我喔! 言歸正傳。大概兩個多月前吧，一個高大而消瘦的紅髮男子，穿著破破的毛衣，走進來；他憔悴的樣子要不是長期吸毒，就是快被煩惱壓垮了。”
“衛斯理(Weasley)? ”跩哥說
露娜點頭。“我認出他以後打了招呼，他也嚇了一跳。這樣一提醒，他倒是馬上記起了我。我問他有什麼煩惱? 他說，他不知道自己是不是已經不愛妙麗了。”
兩位聽眾十分驚訝。“到底發生什麼事? 從頭講啦! ”他們異口同聲的問。
“我當然也很想知道，卻不敢細問。不過他隨即和盤托出了。
“一切都要從哈利(Harry)和榮恩被解僱說起。因為佛地魔(Voldemort) ——”
葛果里瑟縮了一下。“——你是說‘那個人’(You-know-who)? ”
“白痴! ”跩哥說，敲了一下他的頭。“那沒鼻子的窩囊廢都死了二十幾年了，還怕什麼。請繼續說，露娜。”
“佛地魔死後，”露娜說，“魔法界根本沒有戰爭，更不需要什麼常備武力。在某次裁減冗員的呼聲下，一半的正氣師(auror)都被解僱，也包括哈利和榮恩。
“失業後，哈利每天在家裡自怨自艾，只會回憶當年勇。金妮(Ginny)不工作，就勸他暫時找個工作，否則孩子的學費沒有著落。哈利卻因為高不成低不就，變的喜怒無常，常常說話語無倫次。
“有時他一連兩三天躺在沙發上，四肢僵直，也不說話。他叫金妮到霍格華茲圖書館借了一箱又一箱的書；後來金妮發現他根本沒在看，只是相信每一頁的對角線上的字母都是黑魔法的咒語。還說額上的疤又開始痛了，而且聽到佛地魔對他講爬說語(parseltongue)，中了蠻橫咒(The Imperius Curse)，手腳都被當成傀儡被遙控。金妮請求魔法部清查前食死人的動向，卻毫無陰謀的跡象。
“直到有一天，哈利開了火，對著鍋子要把嬰兒的手剁下，幸好被金妮阻止。哈利辯解，穆敵(Moody)的聲音命令他煮這鍋藥水，好讓天狼星(Sirius)復活。金妮終於相信哈利瘋了，並將他安置到聖蒙果醫院(St Mungo's Hospital)。”
跩哥收起了微笑，彷彿第一次真正出現同情。“麻瓜有個詞兒，把這叫做精神分裂(schizophrenia)。”他說。
“至於榮恩，很快就乖乖在古靈閣(Gringotts)找了一成不變的會計工作。一天，他發現會計部門的帳目不合。報告上級後，卻石沉大海。這事我也知道，因為榮恩當時找了謬論家的記者來，大肆抨擊。
“我記得。我有買那份報紙。”葛果里說。
露娜點點頭。“嗯。據榮恩的推測，魔法部宣稱為了增加盈收，要在每年暑假將霍格華茲(Hogwarts)開放給麻瓜觀光，其實暗地裡打算把禁忌森林(forbidden forest)賣掉一小塊。榮恩受訪隔天，接到一封信，說被調職到莫斯科的分行。他不願和妙麗分開，除了辭職別無選擇。因為沒有一技之長，他從此再也找不到工作，只好在家帶小孩。
“再說到哈利發瘋時，趁金妮不注意，揮霍了一大半存款；另一方面，他的醫藥費相當可觀；榮恩又常常堅持接濟波特(Potter)夫婦，經濟重擔於是落在妙麗身上。
“榮恩說到這裡，手抓著桌布，眼淚好像要潰堤而出。我低頭靜靜等他繼續。
“ ‘幾年過去了，’他停了好一會才說，‘我們常常因為經濟問題吵架。我向家裡借錢，回信卻都是推託之詞。除了白天妙麗在霍格華茲的教職之外，晚上她又開班補習魔藥學，還兼了不少差，內容大多枯燥乏味，例如替出版社校對怪獸產地的索引。她的頭髮變白，身子也漸漸撐不住。一次，妙麗的薪水剛寄來，我寄了一半到聖蒙果醫院。她知道後板著臉，當晚就和我提出離婚。’
“官司纏訟了一兩年。因為缺錢，她寫了一本小書，名叫《閃電背後的傷疤：波特傳》，對哈利極盡毀謗之能事。”
“這我倒想知道了，”跩哥說，嘴角又不自覺上揚。
“其實你也猜得到。說什麼哈利會紅，只不過是大家需要英雄。說他勇敢，只是因為大家都在保護他。他活下來，是因為母親莉莉(Lily)的犧牲。他會背的咒語不到十個，而且作業都是抄妙麗的。
“是誰愚蠢地誤闖魔法部，造成天狼星的死? 當年光是為了護送他到洞穴屋(The Burrow)，害了多少鳳凰會(Order of the Phoenix)的菁英喪命? 要不是佛地魔錯認接骨木魔杖的主人，波特現在又在哪裡? ”
“說得好呀! ”跩哥說，一個人鼓掌了起來。“對不起，請繼續講。”
“噢對了，”露娜又說，“妙麗還爆料，哈利與張秋(Cho Chang)一直都在暗通款曲。也不知從哪找來了一張親密合照，並說手上握有更多。”
“對喔，他們以前曾經有一段情。”高爾回想起來。
“——不知是不是因為這樣，金妮不久訴請離婚。她成功離婚了，理由是哈利已無行為能力，婚姻有名無實。她變賣房屋，回去老家洞穴屋住，從此以淚洗面，沒再探望過哈利。反倒是與哈利的戀情曝光後，張秋明目張膽地去陪哈利，不離不棄地照顧他在療養院的日常起居。
“同時，妙麗的書意外大賣，帶來不少稿酬。可是她已無福享受。也許是積勞成疾，一天，她在講台上倒下，據診斷是腦中風。”
“可是葛果里，這東西用魔法也治不好嗎? ”跩哥插嘴問。
“不清楚，”葛果里說，“但你知道魔法不是萬能。神經元數以億計，又互相纏結，大概連最優秀的巫師也沒辦法恢復原狀吧。”
“也許。”露娜說。“總之妙麗從此不能說話，左半身也不能動了。
“‘以前，’榮恩說到這，回憶道，‘她能背出草藥學的索引，還有每種野獸的原產地，現在卻連我的臉也認不出。曾經我只要見到她的側影我的心就跳了起來，她的一綹綹捲髮令我驚為天人。看著這張癱瘓扭曲的面容，沒有光澤的白髮，我不但沒有憐憫，反而厭惡至極。我到底愛的是她的美貌? 還是她的才智? ’
“榮恩講了這長串後，趴在桌上，用手掩著嘴，蹙起眉頭，卻沒有落淚。不久，他轉身，頭也不回的推開帳篷，忘了占卜一回事，更沒說再見。”
餐桌上瀰漫著一股沉默，三人早已從調侃轉為憐憫。
“看來我也該減肥了。”葛果里開了個玩笑。“高血壓真是害人不淺。她後來又撐了多久?”
“不——”露娜說，“可是我聽說妙麗不是因為中風死的。她臥床以後，奈威(Neville)常常來看她，不時調一些草藥給她。有天奈威想調一種鎮定劑，得把雲母和草菇(straw mushroom)一起磨碎拿去煮。結果奈威在路上看到鵝膏(death cap)卻誤認成草菇，就摘下來帶回家煮——”
“他不是草藥學教授嗎...”葛果里向跩哥低語。
“奈威非常自責，若不是被榮恩阻止，差點把剩下半杯毒藥喝了下去。妙麗喝了以後，時昏時醒了兩天，在彌留之際請律師來，寫下潦草的遺囑，當晚就辭世了。”
“這就是她的遺囑囉? ”跩哥說，翻著報導。“那又要替什麼實驗作公證? ”
“繼續往下讀。”露娜說。
葛果里湊過去朗讀，“ ‘我以獨角獸的血發誓，讓梅林(Merlin)的鬍子作證，下面記的，是我經過深思熟慮的，最真誠的——’”
“念重點，拜託，葛果里。”跩哥催促道。
“噢，看到了。‘哈利，你抓得到金探子(golden snatcher)只是靠運氣，正如你一生的寫照。將10000顆金探子放入玻璃箱裡，任取其中一顆觀察，量測其瞬間速度與水平面夾角，θ。則哈利可得1000 |θ|加隆。
“ ‘金妮和奈威，你們有張大餅臉，就讓最胖的搏格數算你們的錢財。取兩顆搏格，依序重2[kg], 4[kg]，將之沿x軸滾出，初速依序為-3[m/s]和2[m/s]。將1000加隆分給金妮和奈威，所得依序正比於：這兩顆搏格停下後與原點的距離平方。
“ ‘榮恩，你的腦袋跟快浮一樣空空的，交給快浮裁決你吧。取2顆快浮，依序將之從10m高的空中放開。僅受重力落地後，測量二者的質心與原點之連線，仰角θ若干。則榮恩可得1000θ加隆。’
“霍格華茲正教授的年薪有一萬多加隆，她實在很小氣。”葛果里評論道。
“有趣，”跩哥沉思了一會，說。“不過為什麼她要用這麼曲折的方式呢? ”
“不知道。”露娜說。“也許她只是想讓家醜外揚。也許她的稿費不計其數，卻連一毛也不想給這些昔日好友，但是又像你說的，”她轉向葛果里，“怕輿論罵她小氣，才交給機率決定吧，這樣大家就無法立即知道確切數目了。”
“我們可以算期望值呀! 她騙不了我的。”葛果里拿出紙來計算。
“可是這些球的機率分布呢? ”露娜問。
“其實製造商都已經標準化了。你看這裡! ”他把電腦朝向露娜，停在《魁地奇魔法動力學》某一頁上，低頭唸，也不管露娜有沒有興趣聽。
“‘金探子必須始終保持隨機快速飛動的狀態。若將很多金探子放入箱子裡，使他們碰撞，各個方向的速度都必須獨立地服從常態(normal)分布N(0,(1/2)^2)。’
“搏格...搏格...讓我翻翻索引。噢，‘搏格是圓形黑色鐵球，會受隨機衝量，以干擾球員比賽。滾動時，它受到隨機阻力，直到停止。每次受的衝量大小2[m*kg/s]，與運動方向相反。每行經1[m]，平均受6^(1/3)*π^2次衝量，且為隨時間的泊松事件(Poisson process)。
“‘快浮是空心木球，會受隨機浮力，使落點不易預測。快浮質量皆(1/2)[kg]，釋放時，瞬間會獲得隨機衝量，大小為(5/2)csc(θ_0)[m*kg/s]，但方向侷限在某個鉛直的上半平面上。其中θ_0為仰角，其分布是均勻的(uniform)...’”
“欸，你看看他。”露娜指著跩哥。後者眉頭深鎖，眼睛緊閉，頭時而後仰，時而受不了重量而垂下，一邊發出了乾嘔聲，大概快吐了。葛果里連忙起身攙扶他。
“時間也不早了，”露娜說，看了手錶。“我明天還要早起監督現場採訪呢。”
“欸! 你們還沒付錢! ”老闆喊道。
葛果里伸到跩哥的口袋，摸出錢包，掏了幾個西可(sickle)放在桌上。“不用找了，”他說，並和露娜道別。
一推開門，寒氣隨即逸入。外頭早已飄下細雪。他聽到幾句嚴重走音的民謠。回頭一看，原來是方才的老人蜷縮在角落裡吹著風笛。他又從跩哥的錢包摸了幾個西可，丟過去。跩哥踉蹌的靠近水溝，吐了一陣。之後葛果里攙著他，一拐一拐的離開了。一會，老人索性放下風笛，起身開始唱歌。他的聲音沙啞而低沉，卻有種歷經滄桑的魅力。
Not Killing Curse but Psyche buries
The never-cringing head of Harry’s.
Once fair as fairies, sweet as honey,
Alas, too turning gray’s Hermione.
E’en Dark Art helps not hothead Ron
Petrify his pedantic tongue.
His beard in butter-beer dipped, Draco
Has torn his robe and worn a Seiko.
哈利的頭不曾畏縮著垂下，
卻被賽姬而非索命咒所殺。
曾如蜂蜜般甜，如仙子般美，
唉，妙麗的頭髮也發灰。
性急的榮恩知道黑魔咒，
卻不能石化迂腐的舌頭。
跩哥的鬍子浸滿啤酒泡，
他撕破袍子，戴上精工錶。
“安靜! ”有人從窗裡喊道，把一個破掉的大釜往他方向砸。老人反而唱得更激動了。雪花補起了磚牆的縫隙，把水溝填平。連方被路人踏過的髒雪也被新一層的冰晶掩蓋。一切的坑洞和污穢都，至少在此刻，成了一片白茫。
“Lo! ” piping, sings thus old Beedle the Bard,
“Your days, young lads, as Elder Wand are hard!
“If Family a whomping willow be,
“It whips and whacks and wouldn’t let you flee.
“And Friendship a patronus changing is:
“Tonight a kitty, morrow a cobra’s kiss.
“A polyjuice potion is Love that just
“Transforms your Senses to a beastly bust.
“Give me the Unseeable Cloak concealing screams!
“Marauder's Map to monitor those schemes!
“A portkey flying me fast to vineyards vast,
“Where brew the blisses brown at last
“And stew the burdens that away I’ve cast.”
老吟遊詩人皮陀的歌你要聽聽!
日子呀多苦，接骨木魔杖就多硬。
若把家庭比做一棵活拚柳，
它又鞭又打，不讓你逃走。
友誼像護法: 今晚是小貓，
明早變了樣，就像眼鏡蛇一咬。
好像變身水，戀情一定都
喬裝你的理智，剩下野獸頭。
給我隱形斗篷，把尖叫藏起!
給我劫盜地圖，好監控那些算計!
還有港口鑰，快飛到廣闊葡萄園，
那兒褐色幸福在鍋裡翻，
那兒我燉著放逐的負擔。
街上瀰漫著霧氣——倫敦人早已習慣這種大霧——老人的身影沒入其中，最後連歌聲也因距離而變得渺茫。
Not Killing Curse but Psyche buries
The never-cringing head of Harry’s…
哈利的頭不曾畏縮著垂下，
卻被賽姬而非索命咒所殺...
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
需簡略交代積分過程，並以精確值表示答案。以數字編號的說明只是提示，未必要遵照這些解法求得最後答案。不可使用水晶球或茶葉占卜。
(A) 金探子(golden snatcher)是帶翅膀的小金球，始終隨機快速飛動。
將10000個金探子放入箱子裡，使他們彈性碰撞。根據統計力學，最後三個方向的速度v_x, v_y, v_z都獨立地服從常態(normal)分布N(0,(1/2)^2)。現在任取其中一顆觀察，量測其瞬間速度與水平面夾角θ。
求1000*E(|Θ|)，即哈利平均可得多少加隆。
(1)令u = v_x^2 + v_y^2, t = v_z*u^(-1/2)。試求雅可比行列式|∂(v_z,u)/∂(t,u)|。
(2)試證U的分布為指數(exponential)分佈，並求其確切pdf。
(3)將隨機變數|Θ|以T表示，並求期望值。利用對稱性。
(B) 搏格(bludger)是圓形黑色鐵球，會受隨機衝量，以干擾球員比賽。
將搏格A沿x軸以初速-3[m/s]滾出，搏格B沿x軸以初速2[m/s]滾出。他們依序重2[kg]和4[kg]。搏格受到隨機阻力，直到停止。每次受的衝量大小2[m*kg/s]，與運動方向相反。每行經1[m]，平均受6^(1/3)*π^2次衝量，且次數為隨距離的泊松事件(Poisson process)。靜止後，依序量測它們與原點的距離X_A,X_B。令Q = (X_A^2)/(X_A^2 + X_B^2)。
求1000E(Q)，即金妮平均可得多少加隆。
(1) XA和XB各為什麼分布? 寫出pdf。
(2) 令y_1 = x_A/(x_A+x_B), y_2 = x_A+x_B。求雅可比行列式|∂(x_A,x_B)/∂(y_1,y_2)|。
(3) 將Q以Y_1和Y_2表示。
(4) 求期望值1000E(Q)。
(C) 快浮(quaffle)是空心木球，會受隨機浮力，使落點不易預測。
有2顆快浮，互相不影響，質量皆(1/2)[kg]，依序將之從h_0 = 10[m]高的空中(以此為原點)放開，它瞬間會獲得隨機的衝量，其仰角θ_0，大小為(5/2)csc(θ_0) [m*kg/s]，方向侷限在x,z-上半平面，且θ_0的分布是均勻的(uniform)。即θ0~UNIF(0,π)。之後僅受重力而落地後，落點x座標離原點各為X_1和X_2。測量“二者質心與原點之連線”的仰角，θ。 重力加速度g = -10 [m/s^2]。
求1000E(Θ)，即榮恩平均可得多少加隆。
(1) 考慮另一個情況: 快浮以等速度運動，但地受到向上加速度-g。據此算出的X_1,X_2分布與原來的分布有什麼關係? 為什麼? Θ呢? 為什麼?
(2) 求X1, X2之pdf。
(3) 令y_1 = (x_1+x_2)/2, y_2 = (x_1-x_2)/2。求雅可比行列式|∂(x_1,x_2)/∂(y_1,y_2)|。
(4) 計算Y_1之邊際pdf。要算這個積分，你可以利用部份分式，但若用留數(residue)會較快。
(5) 算完第(4)小題，你能一眼看出期望值E(θ)嗎? 列式計算E(θ)，驗證你的想法。
* * * * * * * * * * * * * * * * * *
答: 哈利平均約可得 570.796 加隆。金妮平均可得 390.486 加隆。榮恩平均可得 785.398 加隆。(詳解請見“葉丙成的機率驚艷”書)
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