薛丁格的貓咪日記
作者: 陳威宇(ca. Mar. 2013)
增訂: 鄭子宇(Aug. 19, 2013)
(出自“葉丙成的機率驚艷”書)
久違的狄拉克(Dirac)教授，
搬到都柏林(Dublin)以後，我已經找到教職了，請您不用擔心。您還記得我們在牛津大學共事的日子吧，保羅(Paul)? 我很懷念呢。這裡滿冷的，但是不濕，所以不是太難受。
言歸正傳。今天散步的時候，我想起前幾天作的實驗，有些想法，希望給您看看。容我摘錄一段最近的實驗日誌:
8月1日: 統一場論的研究仍然沒有頭緒。不過又到了每天最快樂的時刻: 和我的貓咪一起作實驗的時光。每次聽到他們的天真的嗚嗚聲，總是令人忘記煩惱。作為一個物理學家，抱持著實驗精神是很重要的。為了測試我的理論，我準備了9個箱子，裡面放置了放射性元素的毒氣機關[...]其實第一次按下開關，我也有點下不了手，可是如果是為了真理的話，有什麼犧牲也是沒辦法的吧，小寶貝們? 總而言之，每次實驗在9個箱子中各放一隻貓，他們死亡的機率分別為10%, 20%...到90%，現在我把他們排成九宮格，接下來幾天，我要來用這些貓箱開始進行我的實驗，首先先用編號1~9的貓開始做實驗[...]
8月7日: 我打開了其中五個貓箱，發現301, 304, 305死了，302, 307活著，接下來來計算下1個打開的貓箱是活貓的機率p [...] 301是我最喜歡的一隻虎斑貓，他的眼睛比琥珀還漂亮。不過，過去的都無法挽回了。讓我看看下一個箱子[...]
8月12日: 我打開了其中四個貓箱，這次724, 725死了，721, 723活著，讓我來推算一下再打開3個貓箱，裡面死兩隻活一隻的機率q是多少[...]今天是我生日，全家度過了愉快的一天，明天也要抱持著愉快的心情做實驗。
至此，我突然對這個問題極感興趣: q/p是多少呢?
噢對了，我上文提到的編號並不依序。也就是說，現在有9個貓箱，其中貓死亡的機率確定分別是0.1至0.9。假如p為在確認貓3死2活的情況下，打開下個貓箱看到1隻活貓的機率；q為在確認貓2死2活的情況下，再打開3個貓箱，看到貓2死1活的機率。試求q/p。
這個問題困擾我好幾天。一開始我列出許多情況，作了繁複的計算，卻毫無進展。一直到方才在喝下一杯冰啤酒才有了靈感。我決定分幾個階段考慮這個問題，例用條件機率的性質，說不定可以找出p, q的關係，因為直接算p和q會相當複雜。正因為大家光是活著，就已經夠累了: 不需要特別去追根究柢，這樣日子才會輕鬆點，對吧，保羅? 因此，大部分人知道的少得可憐，這個世界才能這樣在表面上和平運作呢!
為了清楚，讓我再重複一次:
p = P([死3活2]後活1) / P([死3活2])
q = P([死2活2]後[死2活1]) / P([死2活2])
這是根據條件機率的基本性質。現在令
A = P([死2活2]死) / P([死2活2])
B = P([死2活2]死活) / P([死2活2]死)
C = P([死2活2]死活死) / P([死2活2]死活)
D = P([死2活2]死活死)/ P([死2活2])
把他們乘起來可得到
ABC = D
現在，根據p的定義，B = p。再次提醒，前四隻貓的死活順序不一定是“死死活活”，以此類推。但是，由p的定義，已經知道[3死2活]後，“1活”的機率一定是p。假設發生上述事件，可以列出這個式子。
讓我們來算A和C，道理與上述類似。由於貓咪的死亡率是0.1~0.9，對稱於0.5，故直觀上當死的貓和活的貓數目相同時，下一隻貓是死是活的機率亦相同，故為0.5。如果這樣還沒有說服你，可考慮由於貓咪的生存率亦為0.1~0.9，故
A = P(死死活活死) / P(死死活活) = P(活活死死活) / P(活活死死);
這兩者即為在[2死2活]的情況下，下隻貓是死或活的機率。它們明顯相加為1，機率又相同，故皆為0.5。C的情況亦然。故
ABC = p/4
D與q的關係也不難得到。因為P([2死2活]後[2死1活])包含3種情況:
...死活死，...活死死，...死死活，
他們機率是相同的，您不妨思考這個微妙的事實，這點我想了很久才說服自己。其實，我們選定了7個貓箱，依序打開，現在已經打開4隻了。則最後3隻貓的情況的先後排列，不應影響到這3種結果的機率。故
D = q/3
q/3 = p/4
q/p = 3/4
時間已經晚了，保羅，我還要準備教材呢，這封信就寫到這裡吧。假如您有什麼疑問，不管是今天這個問題，或是其他關於物理的，請和我說，不要怕打擾。我一個人在這裡閒得發慌。真希望大戰趕快結束，這樣我就能回到蘇黎世(Zürich)拜訪昔日的同事。
德國人真的病了。說什麼“為了保持德意志精神的純淨”，竟然把人送進毒氣室。咱們科學家追求的是真理，是納粹政府不會懂的。真理看不到，摸不著，不能吃，可是又有什麼關係? 能夠寫信給另一位戰友，他也同樣把真理看得比享樂，規範，甚至生命，來得重要，想到這裡我就感到欣慰!
您最誠懇的朋友，
厄文‧薛丁格(Erwin Schrödinger)
1939年8月19日
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